SOLUCION NO ACOTADA
Una cooperativa decide vender concentrado para ganado a una compañía dedicada a la cría de estos animales. La cooperativa desea recibir el máximo de ganancias al mismo tiempo que cada animal reciba una cantidad adecuada de calorías y vitaminas. Las utilidades y los contenidos de cada alimento se muestran en la tabla, Cada vaca requiere al menos $ 4000 calorías por día y 350 unidades de vitaminas.
A) Formule un modelo de programación lineal.
b) Use el método grafico para resolver el modelo. ¿Cuál es la Utilidad máxima generada?
SOLUCION AL PROBLEMA:
Solución (a)
Definición de Variables
X1 = Alimento Tipo A
X2 = Alimento Tipo B
| Producto | Calorías | Vitaminas | Utilidades (Dólares) |
| X1 | 400 | 70 | 0.2 |
| X2 | 500 | 35 | 0.4 |
| | 4000 | 350 | 0.2 X1 + 0.4 X2 |
Función Objetivo:
Maximizar Z= 0.2 X1 + 0.4 X2
Restricciones:
400X1 + 500X2 ≥ 4000
70X1 + 35X2 ≥ 350
X1, X2 ≥ 0 (Restricciones no negatividad)
Método Grafico:
Igualando las Restriciones:
1) 400X1 + 500X2 = 4000
2) 70X1 + 35X2 = 350
| X1 | X2 |
| 0 | 8 |
| 10 | 0 |
1)
| X1 | X2 |
| 0 | 10 |
| 5 | 0 |
2)
Gráfica:
X2
X1
Notamos de esta grafica como no hay extremos para la región factible
SOLUCIÓN NO FACTIBLE
Una empresa de telefonía desea aumentar su participación en el mercado lanzando un nuevo paquete de minutos. Desea que Ganar 300 pesos por minuto en llamadas al mismo operador, y 800 por minuto llamada a otro operador distinto a él. Los costos generados para la empresa son de 1 pesos entre el mismo operador y por qué firmo una nueva alianza estratégica también maneja el mismo costo por minuto (1 peso) a otro operador. Decide no Gastar más de 2000 pesos por paquete, y que las ganancias por paquete deben ser mayores a 6000 pesos ¿Cuántos minutos a cada operador debe contener el plan para un máximo de ganancias?
Definición de Variables
X: minutos al mismo operador
Y: minutos a otro operador
Función Objetivo: Maximizar Z = 300 x + 800 y
Restricciones:
X + Y ≥ 6000
X + Y ≤ 2000
X, Y ≥ 0 (Restricciones no negatividad)
Método Grafico:
Igualando las Restricciones:
1) X + Y = 6000
2) X + Y = 2000
| X | Y |
| 0 | 6000 |
| 6000 | 0 |
1)
| X | Y |
| 0 | 2000 |
| 2000 | 0 |
2)
Notamos como no en esta grafica no hay región donde se satisfagan las dos restricciones
SOLUCIONES ACOTADAS
La elaboración de una mesa de centro requiere 6 horas de trabajo del artesano, y los materiales le cuestan 200 Dólares. La fabricación de una mesa de esquina requiere 5 horas de trabajo y los materiales le cuestan 100 dólares.
El artesano no piensa trabajar más de 40 horas semanales y sus recursos financieros le permiten pagar hasta 1000 Dólares de materiales semanalmente. Si vende la misma cantidad de mesas que fábrica y si la utilidad es de 240 Dólares por mesa de centro y 160 Dólares por mesa de esquina, entonces:
¿Cuántas mesas de centro y cuantas de esquina debería fabricar para obtener el máximo de ganancia?
| MESAS | HORAS | COSTOS | UTILIDADES |
| DE CENTRO | 6 | 200 | 240 |
| DE ESQUINA | 5 | 100 | 160 |
Definición de Variables
N1: número de mesas de centro a fabricar
N2: número de mesas de esquina a fabricar
Restricciones:
6N1 + 5N2 ≤ 40
200N1 + 100N2 ≤ 1000
N1, N2 ≥ 0 (Restricciones no negatividad)
Función Objetivo:
Maximizar Z = 240N1 + 160N2
Método Grafico:
Igualando las Restricciones:
1) 6N1 + 5N2 = 40
2) 200N1 + 100N2 = 1000
| N1 | N2 |
| 0 | 8 |
| 6.66 | 0 |
1)
| N1 | N2 |
| 0 | 10 |
| 5 | 0 |
2)
Gráfica:
N2
N1
Análisis
Vértices dentro del área que cumple con las restricciones:
Vértice 1: (0, 8)
Vértice 2: (5, 0)
Vértice 3: (2.5, 5)
Reemplazamos los vértices en F.O Z= 240 N1 + 160N2 y tenemos:
Vértice 1: (0, 8) = 1280
Vértice 2: (5, 0)= 1200
Vértice 3: (2.5, 5)= 1400. Por tanto el artesano deberá fabricar 2.5 mesas de centro y 5 mesa de esquina para obtener un máximo de ganancias de 1400 Dólares.
MULTIPLES SOLUCIONES
Maximizar la función Z = 8x + 4y
Restricciones:
1) 4x +2 y ≤ 8
2) x - y ≤ 1
X, Y 
0.(Restricciones no negatividad)
0.(Restricciones no negatividad)Método Grafico:
Igualando las Restricciones:
1) 4x +2 y = 8
2) x - y =1
1)
| x | y |
| 0 | 4 |
| 2 | 0 |
2)
| x | y |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
Análisis
Vértices dentro del área que cumple con las restricciones:
Vértice 1: (0, 1)
Vértice 2: (0, 0)
Vértice 3: (0, 4)
Vértice : (1.68, 0.65)
Reemplazamos los vértices en F.O Z = 8x + 4y tenemos:
Vértice 1: (0, 1) = 4
Vértice 2: (0, 0)= 0
Vértice 3: (0, 4)= 16
Vértice 4: (1.68, 0.65)= 16
Por tanto, en todos los puntos entre el vértice 3 y 4 tendremos múltiples soluciones
